05 | 平稳过程 ¶

Cheet Sheet¶

本章题目比较格式化，大概都是这种流程，背公式就行了，对常用的傅立叶变换对要记忆清楚

1. 一般都是第一问算均值和自相关函数，然后验证是不是宽平稳过程（有独立的就拆开，没有的利用 pdf 进行积分）
2. 第二问算时间均值和时间相关函数，然后验证均值和自相关的各态历经性
3. 求谱密度（与傅立叶变换相联系）

① 证明是宽平稳过程

• \(E[X(t)]\) 为常数
• \(R_X\) 为只和 \(\tau\) 有关的函数

② 均值各态历经

• \(\langle X(t)\rangle\equiv\mu_X\)
• \(\lim_{T\rightarrow\infty} \frac1T\int_0^\infty C_x(\tau) d\tau\)
• 在 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)\) 存在的条件下，证明 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)=\mu_X^2\)

③ 自相关函数各态历经

• \(\langle X(t)X(t+\tau)\rangle\equiv R_X(\tau)\)

④ 功率谱密度：对自相关函数进行傅里叶变换 ; 实、非负、偶函数

• 傅立叶变换的性质：时域相乘等于频域卷积

因此

平稳随机过程 ¶

一维分布与时间 \(t\) 无关

二维分布只与时间间隔 \(\tau\) 有关

• 均值和 \(t\) 无关
• 方差与 \(t\) 无关
• 自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关

无线电设备中热噪声电压 \(X(t)\) 是由于电路中电子的热运动引起的，这种热扰动不随时间而变； 连续测量飞机飞行速度产生的测量误差\(X(t)\)，是由很多因素（如仪器振动、电磁波干扰、气候等）引起的，但主要因素不随时间而变；

严平稳过程 ¶

各维概率密度函数都不随时间的推移而变化

\(\{X(t);t\in T\}\) 中所有 \(X_t\) 同分布，且 \(\forall\;n\geq2\quad(X_{t_1},X_{t_2},\dots,X_{t_n})\) 的分布仅与时间差 \(t_i-t_{i-1}\) 有关，而与起始时间 \(t_1\) 无关。

宽平稳过程 ¶

均值为常数，自相关函数仅仅是时间间隔的函数

存在二阶矩的严平稳过程。平稳过程均指宽平稳过程。

• 均值函数：\(\mu_X(t)=E[X(t)]=E[X(0)]\overset{记为}\Longrightarrow\mu_X\;\)( 常数 )
• 方差函数：\(D[X(t)]=R_X(0)-\mu_X^2\;\)( 常数 )
• 自相关函数：
  • \(E[X(t)X(t+\tau)]=E[X(0)X(\tau)]=R_X(\tau)\)( 为时间差的函数 )
  • \(E[X^2(t)]=R_X(0) = Var(X)\)( 常数 )
• 自协方差函数：\(C_X(\tau)=R_X(\tau)-\mu_X^2\)

平稳相关过程 ¶

若 { \(X(t);t\in T\) }、{ \(Y(t);t\in T\) } 是两个平稳过程，\(X(t),Y(t)\) 的互相关函数也为时间差 \(\tau\) 的函数 \(\overset{记为}\Longrightarrow R_{XY}(\tau)\)，称 \(X(t),Y(t)\) 是平稳相关 / 联合（宽）平稳的。

平稳过程自相关函数的性质 ¶

1. 功率特性

   • \(R_X(0)=E[X^2(t)]=\psi_X^2\geq0 = S\)
     • 物理意义：随机过程的平均功率
   • \(R(\infty) = E^2[\xi(t)] = a^2\)​
     • 物理意义：随机过程的直流功率
     • 推导：时间间隔无限大时，\(\xi(t)\) 与 \(\xi(t+\tau)\) 趋于独立
     • \(R(\infty) = \lim_{\tau \to \infty} E[\xi(t)\xi(t+\tau)] = \lim_{\tau \to \infty} E[\xi(t)]E[\xi(t+\tau)] = E[\xi(t)]E[\xi(t)] = E^2[\xi(t)]\)
   • \(R(0) - R(\infty) = E[\xi^2(t)] - a^2 = \sigma^2\)
     • 物理意义：随机过程的交流功率对应方差公式

2. 对称性

   • \(R_X(-\tau)=R_X(\tau)\) ( 偶函数 )
   • \(R_{XY}(-\tau)=R_{YX}(\tau)\) ( 非奇非偶 )

3. 有界性

   • \(\mid R_X(\tau)\mid\leq R_X(0)\)
   • \(\mid C_X(\tau)\mid\leq C_X(0)=\sigma_X^2\)
     • 给出了自相关函数的上界，与自身时刻相关性最大
   • \(\mid R_{XY}(\tau)\mid^2\leq R_X(0)R_Y(0)\)
   • \(\mid C_{XY}(\tau)\mid^2\leq C_X(0)C_Y(0)\)
   • 相关 / 协方差函数在时间差 \(\tau\) 为 0 时取得最大值

4. 非负定性 \(R_X(\tau)\) 是非负定的，即 \(\forall\;t_1,t_2,\dots,t_n\in T\) 和 \(\forall\;a_1,a_2,\dots,a_n\in R\) ，有

   $$ sum_{i,j=1}^n R_X(t_i-t_j)a_ia_jgeq0 $$

5. 周期性 \(\{X(t);t\in T\}\) 是周期为 \(T_0\) 的平稳过程 \(\Leftrightarrow\) \(R_X(t)\) 是周期为 \(T_0\) 的函数

各态历经性 ¶

只有一个样本函数，如何刻画

\(x(t)\) 为随机过程的任意一个实现（样本函数）

时间均值 ¶

\(\langle X(t)\rangle=\underset{T\rightarrow+\infty}\lim\frac 1{2T}\int_{-T}^TX(t)dt\)

\(\langle X_n\rangle=\underset{N\rightarrow+\infty}\lim \frac 1N\sum_{n=1}^NX_n\)

时间相关函数 ¶

\(\langle X(t)X(t+\tau)\rangle=\underset{T\rightarrow+\infty}\lim\frac 1{2T}\int_{-T}^TX(t)X(t+\tau)dt\)

\(\langle X_nX_{n+m}\rangle=\underset{N\rightarrow+\infty}\lim \frac 1N\sum_{n=1}^NX_nX_{n+m}\)

各态历经性定义 ¶

均值具有各态历经性 \(P(\langle X(t)\rangle=\mu_X)=1\) / \(P(\langle X_n\rangle=\mu_X)=1\) （即时间均值恒等于均值函数）

自相关函数具有各态历经性 \(\forall\;\tau\quad P(\langle X(t)X(t+\tau)\rangle=R_X(\tau))=1\) （即时间相关函数恒等于自相关函数）

含义：

• 随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态
• 化“统计平均”为“时间平均”，用任意一个样本函数刻画整个随机过程的所有特征，简化实际的测量和计算

均值各态历经定理 ¶

设 \(\{X(t), -\infty < t < \infty\}\) 为平稳过程，则 \(P\left\{ \langle X(t) \rangle = \mu_X \right\} = 1\), 等价于 \(\lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_0^T C_X(\tau) \, d\tau = 0\)

推论：在 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)\) 存在的条件下，若 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)=\mu_X^2\) ，则均值具有各态历经性，反之不具有。

平稳过程的功率谱密度 ¶

定义 ¶

假定 \(f(t)\) 为随机过程 \(\xi(t)\) 的任一实现，对其进行 \(T\) 长度的截断，记为 \(f_T(t)\)，其傅里叶变换为 \(F_T(\omega)\)，则任一实现的功率谱为：

故 \(\xi(t)\) 的功率谱密度为：

维纳 - 辛钦定理 ¶

\(S_X(\omega)\) 是 \(\omega\) 的非负实偶函数，与自相关函数 \(R_X(\tau)\) 是一对 \(Fourier\) 变换对。

平稳随机过程 \(\xi(t)\) 的功率谱密度函数 \(P_{\xi}(\omega)\) 和自相关函数 \(R(\tau)\) 为一对傅里叶变换对。

或

因为 \(S_X\;R_X\) 都是实偶函数，所以 \(R_X\overset{F}\longleftrightarrow S_X\quad S_X\overset{F}\longleftrightarrow 2\pi R_X\)

性质 ¶

实、非负、偶

• 功率谱密度具有非负性：\(P_{\xi}(f) \geq 0\)

• 功率谱密度是偶函数：\(P_{\xi}(-f) = P_{\xi}(f)\)

• 单边、双边功率谱密度互换：\(P_{\xi\text{单边}}(f) = \begin{cases} 2P_{\xi\text{双边}}(f) & f \geq 0 \\ 0 & f < 0 \end{cases}\)

平均功率计算方法 ¶

利用自相关函数计算

利用功率谱密度

常用傅立叶变换对 ¶

各种常见信号傅里叶变换需要记住

• \(cos(\omega_0 t)\) 频谱搬移
• 门函数的表达 \(u(t) - u(t-t_0)\)

互谱密度 ¶

设 \(X(t)\) 和 \(Y(t)\) 是两个平稳相关的随机过程，

定义：\(S_{XY}(\omega) = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{2T} E \left\{ F_X(-\omega, T) F_Y(\omega, T) \right\}\) 为平稳过程 \(X(t)\) 和 \(Y(t)\) 的互谱密度。

它有以下特性：

1. \(S_{XY}(\omega) = S_{YX}^*(\omega)\), 即 \(S_{XY}(\omega)\) 和 \(S_{YX}(\omega)\) 互为共轭函数
2. 当 \(\int_{-\infty}^{+\infty} |R_{XY}(\tau)| d\tau < \infty\) 时，成立维纳 - 辛钦公式 \(S_{XY}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_{XY}(\tau) e^{-i\omega\tau} d\tau, \quad R_{XY}(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_{XY}(\omega) e^{i\omega\tau} d\omega;\)

例题 ¶

严平稳 ¶

对任何 \(k \geq 1\), \(n_1, n_2,\cdots, n_k \geq 1\), \(m \geq 1\), 有

所以 \(\{Y_n;n = 1,2,\cdots\}\) 为严平稳序列。

当 \(E(X^2) < \infty\) 时，\(E(Y_n) = E(X)\) 存在且为常数，\(E(Y_mY_n) = E(X^2)\) 为常数。所以 \(\{Y_n;n = 1,2,\cdots\}\) 为宽平稳序列。

求解宽平稳、各态历经性、谱密度 ¶

已知信号过程 \([X(t);\, t \geq 0]\)，满足 \(P(X(t) = \pm 1) = \frac{1}{2}\)，且在区间 \((t, t+\tau]\) 内取正负号的次数服从参数为 \(\lambda \tau\) 的泊松分布。另有过程 \(Y(t) = \cos(t - \theta)\)，\(-\infty < t < +\infty\)，其中 \(\theta\) 在区间 \((0, 2\pi)\) 上服从均匀分布。\(\{X(t);\, t \geq 0\}\) 与 \(\{Y(t);\, -\infty < t < +\infty\}\) 相互独立。定义 \(Z(t) = X(t)Y(t) + 1\)，\(0 \leq t < +\infty\)。请回答下列问题：

1. \(\{X(t);\, t \geq 0\}\) 的均值函数 \(\mu_X(t)\) 和自相关函数 \(R_X(t, t+\tau)\) 为

   • (A) \(\mu_X(t) = 0\)，\(R_X(t, t+\tau) = \dfrac{1}{2} e^{-2\lambda \tau}\)
   • (B) \(\mu_X(t) = 0\)，\(R_X(t, t+\tau) = e^{-2\lambda \tau}\)
   • (C) \(\mu_X(t) = 0\)，\(R_X(t, t+\tau) = \dfrac{1}{2} e^{-2\lambda |\tau|}\)
   • (D) \(\mu_X(t) = 0\)，\(R_X(t, t+\tau) = e^{-2\lambda |\tau|}\)

2. \(\{X(t);\, t \geq 0\}\) 的谱密度函数 \(S_X(\omega)\) 为

   • (A) \(\dfrac{2\lambda}{\lambda^2 + \omega^2}\)
     • (B) \(\dfrac{4\lambda}{2\lambda^2 + \omega^2}\)
     • (C) \(\dfrac{2\lambda}{4\lambda^2 + \omega^2}\)
     • (D) \(\dfrac{4\lambda}{4\lambda^2 + \omega^2}\)

3. \(\{Y(t);\, -\infty < t < +\infty\}\) 的时间均值 \(\langle Y(t) \rangle\) 为

   • (A) \(0\)
   • (B) \(\cos t\)
   • (C) \(\sin(t - \theta)\)
   • (D) \(\cos(t - \theta)\)

4. \(\{Y(t);\, -\infty < t < +\infty\}\) 的时间相关函数 \(\langle Y(t) Y(t+\tau) \rangle\) 为

   • (A) \(0\)
   • (B) \(\cos 2\tau\)
   • (C) \(\cos \tau\)
   • (D) \(\dfrac{1}{2} \cos \tau\)

5. \(\{Y(t);\, -\infty < t < +\infty\}\) 的各态历经性为

   • (A) 均值、自相关函数都不具有各态历经性
   • (B) 均值具有各态历经性，但自相关函数不具有各态历经性
   • (C) 自相关函数具有各态历经性，但均值不具有各态历经性
   • (D) 均值、自相关函数都具有各态历经性

6. 下列等式中正确的是

   • (A) \(\mu_Z(t) = \mu_X(t)\mu_Y(t)\)
   • (B) \(R_Z(t, t+\tau) = R_X(t, t+\tau) + R_Y(t, t+\tau)\)
   • (D) \(R_Z(t, t+\tau) = R_X(t, t+\tau) R_Y(t, t+\tau) + 1\)
   • (C) \(\mu_Z(t) = \mu_X(t) + \mu_Y(t) + 1\)

7. 关于 \(\{Z(t);\, t \geq 0\}\) 的叙述错误的是

   • (A) \(\{Z(t);\, t \geq 0\}\) 是平稳过程
   • (B) \(\{Z(t);\, t \geq 0\}\) 的自相关函数为 \(\dfrac{1}{2} e^{-2\lambda|\tau|} \cos\tau + 1\)
   • (C) \(\{Z(t);\, t \geq 0\}\) 的谱密度函数为 \(\dfrac{\lambda}{4\lambda^2 + (\omega-1)^2} + \dfrac{\lambda}{4\lambda^2 + (\omega+1)^2} + \pi\delta(\omega)\)
   • (D) \(\{Z(t);\, t \geq 0\}\) 的均值具有各态历经性 $

答案： DDADDDC

其中 \(X(t)\) 题干比较难以理解，但其实作为选择题可以交叉排除做出来。

顺序是：

• \(X(t)\) 均值、自相关、谱密度、时间均值、时间自相关
• \(Y(t)\) 均值、自相关、谱密度、时间均值、时间自相关

求 \(Z(t)\) 的谱密度的时候，可以使用时域相乘等于频域卷积的性质，但是要注意公式前面的 \(\frac{1}{2\pi}\) 不要遗漏

1. 均值函数 \(\mu_X(t)\) 由于 \(X(t)\) 在任一时刻取值为 \(\pm 1\) 且概率各为 \(1/2\)，其期望为：

   $$ mu_X(t) = mathbb{E}[X(t)] = frac{1}{2}(1) + frac{1}{2}(-1) = 0. $$

   因此所有选项中均值函数均为 0，符合题设。

2. 自相关函数 \(R_X(t, t+\tau)\) 需计算 \(\mathbb{E}[X(t)X(t+\tau)]\)。由题意可知：

   - \(X(t)\) 在区间 \((t, t+\tau)\) 内的符号翻转次数 \(N(\tau)\) 服从参数为 \(\lambda\tau\) 的泊松分布。 - \(X(t+\tau)\) 的符号取决于 \(N(\tau)\) 的奇偶性：若 \(N(\tau)\) 为偶数（含 0 次），则 \(X(t+\tau) = X(t)\)；若为奇数，则 \(X(t+\tau) = -X(t)\)。

因此：

代入自相关函数得：

本题目改编自课本例 5.1.6

$$ E[A]=frac12quad D[A]=frac1{12}quad E[A^2]=E2[A]+D[A]=frac 13 $$

（1）均值函数

$$ mu_X=E[Acos(2pi B)]=0 $$

（2）自相关函数

$$ begin{align} R_X(tau)&=E[X(0)X(tau)]\ &=E[A^2]cdot E[cos(2pi B)cdot cos(tau+2pi B)]\ &=frac{costau}{6} end{align} $$

（3）谱密度

$$ S_X(omega)=fracpi6[(omega+1)+(omega-1)] $$

（4）时间均值

$$ begin{align} langle X(t)rangle&=underset{Trightarrow+infty}limfrac 1{2T}int_{-T}^TX(t)dt\ &=underset{Trightarrow+infty}limfrac 1{T}int_0^{T}Acos(t+2pi B)\ &=Aunderset{Trightarrow+infty}lim frac{ sin(T+2pi B) - sin(2pi B)}{T}\ &=0equivmu_X end{align} $$

具有各态历经性。

（5）时间相关函数

$$ langle X(t)X(t+tau)rangle=underset{Trightarrow+infty}limfrac 1{2T}int_{-T}^TX(t)X(t+tau)dt\ =frac{A^2costau}2neq R_X(tau)$$

不具有各态历经性。

（6）综合（4）（5），\(X(t)\) 不是各态历经过程。

1) 证明 \(\xi(t)\) 广义平稳；期望为常数，\(R(t,t+\tau)=R(\tau)\)。

$$ begin{aligned} E[xi(t)] &= int_{0}^{2pi}Acos(omega_{c}t+theta)cdotfrac{1}{2pi}dtheta \ &= frac{A}{2pi}int_{0}^{2pi}(cosomega_{c}tcdotcostheta-sinomega_{c}tcdotsintheta)dtheta \ &= frac{A}{2pi}[cosomega_{c}tint_{0}^{2pi}costheta dtheta-sinomega_{c}tint_{0}^{2pi}sintheta dtheta] \ &= 0 text{ (为常数)} end{aligned} $$

$$ begin{aligned} R(t,t+tau) &= E[xi(t)xi(t+tau)] \ &= E[Acos(omega_{c}t+theta)cdot Acos(omega_{c}(t+tau)+theta)] \ &= frac{1}{2}[cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)] \ &= frac{A^{2}}{2}E[cos(2omega_{c}t+omega_{c}tau+2theta)+cos(omega_{c}tau)] \ &= frac{A^{{2}}{2}cosomega_{c}tau+int_{0}}dtheta \ &= frac{A^{2}}{2}cosomega_{c}tau end{aligned} $$}cos(2omega_{c}t+omega_{c}tau+2theta)cdotfrac{1}{2pi

只与 \(\tau\) 有关。

\(\therefore \xi(t)\) 广义平稳

2) 求 \(\xi(t)\) 的功率谱密度和平均功率

$$ begin{aligned} R(t) &= frac{A^2}{2} cos(w_c t) iff P_{xx}(w) = frac{pi A^2}{2} [delta(w + w_c) + delta(w - w_c)] \ cos(w_c t) &iff pi [delta(w + w_c) + delta(w - w_c)] \ end{aligned} $$

方法 1 求 \(R(0)\):

$$ S = R(0) = frac{A^2}{2} $$

方法 2 求积分：

$$ begin{aligned} S &= frac{1}{2pi} int_{-infty}^{+infty} P_{xx}(w) dw \ &= frac{1}{2pi} int_{-infty}^{+infty} frac{pi A^2}{2} [delta(w + w_c) + delta(w - w_c)] dw \ &= frac{1}{2pi} cdot 2 cdot frac{pi A^2}{2} = frac{A^2}{2} \ end{aligned} $$

注意到

$$ int_{-infty}^{+infty} delta(t) dt = 1 $$

3) 判断 \(\xi(t)\) 是否具有各态历经性

$$ xi ( t ) = A cos ( w c t + theta ) $$

$$ begin{aligned} overline { a } &= lim { T rightarrow infty } frac { 1 } { T } int { - frac { T } { 2 } } ^ { frac { T } { 2 } } A cos ( w c t + theta ) d t = 0 \ overline { a } &= a end{aligned} $$

$$ begin{aligned} overline { R ( tau ) } &= lim { T rightarrow infty } frac { 1 } { T } int { - frac { T } { 2 } } ^ { frac { T } { 2 } } A cos ( w c t + theta ) cdot A cos [ w c ( t + tau ) + theta ] d t \ &= lim { T rightarrow infty } frac { A ^ { 2 } } { 2 T } cdot T cdot cos w c tau \ &= lim { T rightarrow infty } frac { A ^ { 2 } } { 2 T } int _ { - frac { T } { 2 } } ^ { frac { T } { 2 } } [ cos ( 2 w c t + w c tau + 2 theta ) + cos ( w c tau ) ] d t \ &= frac { A ^ { 2 } } { 2 } cos w c tau \ end{aligned} $$

$$ begin{aligned} overline { R ( tau ) } &= R ( tau )\ &= lim { T rightarrow infty } frac { A ^ { 2 } } { 2 T } [ cos w c tau int { - frac { T } { 2 } } ^ { frac { T } { 2 } } d t + int _ { - frac { T } { 2 } } ^ { frac { T } { 2 } } cos ( 2 w c t + w c tau + 2 theta ) d t ] end{aligned} $$

已知随机过程 \(z(t)=m(t)\cos(\omega_{c}t+\theta)\)，\(m(t)\) 为广义平稳过程， 其自相关函数为 \(R_{m}(\tau)=\begin{cases}1+\tau & -1<\tau<0 \\1-\tau & 0<\tau<1 \\0 & \text{其他}\end{cases}\)

随机变量 \(\theta\) 在 \([0,2\pi]\) 服从均匀分布，与 \(m(t)\) 统计独立。

1）证明 \(z(t)\) 广义平稳

$$ begin{aligned} E[z(t)] &= E[m(t)cos(omega_c t + theta)] \ &= E[m(t)] cdot frac{int_0^{2pi} cos(omega_c t + theta) frac{1}{2pi} dtheta}{1} \ &= 0 \ R_z(t, t + tau) &= E[z(t)z(t + tau)] \ &= Eleft{m(t)cos(omega_c t + theta) cdot m(t + tau)cos[omega_c(t + tau) + theta]right} \ &= Eleft{m(t) cdot m(t + tau) cdot frac{1}{2}cos(2omega_c t + omega_c tau + 2theta) + frac{1}{2}cosomega_c tauright} \ &= R_m(tau) cdot frac{1}{2} Eleft[cos(2omega_c t + omega_c tau + 2theta) + cosomega_c tauright] \ &= frac{1}{2} R_m(tau) cdot cosomega_c tau end{aligned} $$

所以是广义平稳

2）求自相关函数 \(R_{z}(\tau)\) 并画出波形

$$ begin{align} R_{z}(tau) &= frac{1}{2} R_{m}(tau) cos omega_{c} tau\ &=begin{cases} frac{1}{2} (1+tau)cos omega_{c} tau & -1 < tau < 0 \ frac{1}{2} (1-tau)cos omega_{c} tau & 0 < tau < 1 \ 0 & text{其他} end{cases} end{align} $$

所以在画图的时候，先画出包络，再绘制函数

3）求功率谱密度 \(P_{z}(f)\) 及功率

$$ R_{z}(tau) = frac{1}{2} R_{m}(tau) cos omega_{c} tau $$

\(R_M\) 是一个三角波，我们已知三角波可以由两个门函数卷积而来，所以我们可以将 \(R_M\) 分解为两个门函数，然后对每个门函数进行傅里叶变换，最后将两个门函数的傅里叶变换相乘，得到 \(P_{z}(\omega)\)。

$$ begin{align} P_{z}(omega) &= mathcal{F}(f_{1}(t) cdot f_{2}(t)) =frac{1}{2pi} F_{1}(omega) F_{2}(omega) \ &= frac{1}{2pi}cdot {color{red}mathcal{F}(frac{1}{2}R_m(tau))}cdot{color{blue}mathcal{F}(cos(omega_ctau))}\ &= frac{1}{2pi} cdot {color{red}frac{1}{2} Sa^{2}(frac{omega}{2}) }cdot {color{blue} pi [delta(omega + omega_{c}) + delta(omega - omega_{c})]}\ &= frac{1}{4} [Sa^{2}(frac{omega + omega_{c}}{2}) + Sa^{2}(frac{omega - omega_{c}}{2})] end{align*} $$

$$ becauseomega = 2pi f $$

$$ P_{z}(f) = frac{1}{4} {Sa^{2}[pi(f + f_{c})] + Sa^{2}[pi(f - f_{c})]} $$

平均功率

$$ S = R_{z}(0) = frac{1}{2} $$

设 \(\{X(t);-\infty < t < \infty\}\) 是宽平稳过程，若自相关函数 \(R_X(\tau)=2\delta(\tau)+2\)，则谱密度 \(S_X(\omega)=\) __，\(\{X(t)\}\) 的均值各态历经当且仅当均值 \(\mu_X=\) ____。

解：

1. 求谱密度 \(S_X(\omega)\)

答案：\(2+4\pi\delta(\omega)\)

2. 求均值 \(\mu_X\)

答案：\(\pm\sqrt{2}\)

设 \(\{X(t);-\infty<t<\infty\}\) 是宽平稳过程，若均值函数 \(\mu_{X}=2\)，自相关函数 \(R_{X}(\tau)=e^{-|\tau|}+a\)，则 \(\{X(t)\}\) 的谱密度 \(S_{X}(\omega)=\)_，均值各态历经当且仅当均值 \(a=\) ___。

答案：

• \(\frac{2}{1+\omega^{2}}+2\pi a\delta(\omega)\)
• \(4\)

设 \(\{B(t);t\geq0\}\) 是标准布朗运动，\(A\sim N(1,1)\)，且 \(A\) 与 \(\{B(t);t\geq0\}\) 独立。设 \(X(t)=A[B(t+1)-B(t)]\)，\(t\geq0\)。

1. 计算 \(\{X(t)\}\) 的均值函数和自相关函数，并证明它是宽平稳过程

(1)\(\mu_X(t)=EX(t)=0\)

$$ begin{aligned} R_X(t,t+tau) &= EX(t)X(t+tau) \ &= begin{cases}2(1-|tau|), & |tau|leq1; \ 0, & |tau|>1.end{cases} end{aligned} $$

因为 \(\mu_X(t)\) 是常数，\(R_X(t,t+\tau)\) 只与 \(\tau\) 有关，所以 \(\{X(t)\}\) 是宽平稳过程。

2. 判断 \(\{X(t)\}\) 的均值是否具有各态历经性，并说明理由

(2)\(\lim_{\tau\to\infty}R_X(\tau)=0=\mu_X^2\), 所以均值具有各态历经性

设 \(X(t)=A\cos(t+\Theta)+B\)，\(-\infty<t<\infty\)，这里 \(A,B,\Theta\) 相互独立，\(A\sim N(1,1)\)，\(\Theta\sim U(0,2\pi)\)，\(B\) 具有概率密度 \(f(x)=\begin{cases}|x|，&-1<x<1;\\0,&其它.\end{cases}\)

1. 计算 \(\{X(t)\}\) 的均值函数和自相关函数，并证明它是一个宽平稳过程

(1) \(\mu _{X}( t) = 0\)

$$R_{X}(t,t+tau)=frac{1}{2}+costau $$

因为 \(\mu_{X}(t)\) 是常数，\(R_{X}(t,t+\tau)\) 只与 \(\tau\) 有关，所以是宽平稳

答案

(1)

• \(\mu _{X}( t) = 0\)
• \(R_{X}(t,t+\tau)=\frac{1}{2}+\cos\tau\)

因为 \(\mu_{X}(t)\) 是常数，\(R_{X}(t,t+\tau)\) 只与 \(\tau\) 有关，所以是宽平稳

(2)

• \(\langle X( t) \rangle = \operatorname* { lim} _{T\to \infty }\frac 1{2T}\int _{- T}^{T}X( t) dt= B\)
• \(\langle X(t)X(t+\tau) \rangle=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)X(t+\tau)dt=\frac{A^{2}}{2}\cos\tau+B^{2}\)

(3) 都不具有各态历经性

设 \(X(t)=A\cos(t+2\pi B)\), \(-\infty<t<\infty\), 这里 \(A\), \(B\) 相互独立同服从区间 \((0,1)\) 上的均匀分布。

1. 计算 \(\{X(t); -\infty<t<\infty\}\) 的均值函数和自相关函数，并证明它是一个宽平稳过程

(2) 计算 \(\{X(t); -\infty<t<\infty\}\) 的时间均值 \(\langle X(t) \rangle\) 和时间相关函数 \(\langle X(t)X(t+\tau) \rangle\), 判断 \(\{X(t); -\infty<t<\infty\}\) 是否为各态历经过程，说明理由。

(1) 首先计算均值和自相关函数：

$$ E(A) = 0, quad E(A^2) = frac{1}{3} $$

$$ mu_X(t) = 0 $$

$$ R_X(t, t+tau) = frac{costau}{6} $$

因此，\(\{X(t)\}\) 是宽平稳过程。

(2) 计算时间均值和时间相关函数：

• 时间均值为 \(\langle X(t) \rangle = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} (A\cos(t+2\pi B))\,dt = 0\)
  由于 \(P(\langle X(t) \rangle = \mu_X) = 1\)，所以均值具有各态历经性。

• 时间相关函数为

  \[ \begin{aligned} \langle X(t)X(t+\tau) \rangle &= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} A^2\cos(t+2\pi B)\cos(t+\tau+2\pi B)\,dt \\ &= \frac{A^2\cos\tau}{2} \end{aligned} \]

  而 \(P(\langle X(t)X(t+\tau) \rangle = R_X(\tau)) = P\left(\frac{A^2\cos\tau}{2} = \frac{\cos\tau}{6}\right) \neq 1\)，所以相关函数不具各态历经性，\(\{X(t)\}\) 不是各态历经过程。

各态历经定理和推论 ¶

已知谱密度函数 \(S_X(\omega) = \frac{\omega^2+5}{\omega^4+10\omega^2+9}\), 则自相关函数 \(R_X(\tau) = \underline{\quad\quad}\), 均值 \(\mu_X = \underline{\quad\quad}\)

解析

记住变换对： \(e^{-a\mid\tau\mid}\) 与 \(\frac{2a}{a^2+\omega^2}\)

先进行因式分解

$$ begin{aligned} S_X(omega) &= frac{omega^2+5}{omega4+10omega^2+9} \ &= frac{omega^2+5}{(omega2+1)(omega^2+9)} \ &= frac{½}{omega^2+1} + frac{½}{omega^2+9} end{aligned} $$

再进行傅立叶反变换

$$ begin{align} R(tau) = &mathcal{F}^{-1} (frac{½}{omega^2+1} + frac{½}{omega^2+9}) \ &= frac14 e^{{-|tau|}+frac1{12}e} end{align} $$

根据各态历经定理：在 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)\) 存在的条件下，\(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)=\mu_X^2\)，所以 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau) = 0\), 所以均值为 0

​

习题 ¶

5.2¶

5.7¶

5.12¶

5.14¶

5.16¶

5.19¶

$$ S_{X}(omega) = frac{1}{omega^{2}+2} - frac{1}{omega^{2}+3} $$

所以自相关函数为：

$$ R_{X}(tau) = frac{sqrt{2}}{4} e^{-sqrt{2}|tau|} - frac{sqrt{3}}{6} e^{-sqrt{3}|tau|} $$

5.21¶

(1) 证明 \(\{X(t); -\infty < t < \infty\}\) 是平稳过程

$$ begin{aligned} mu_X &= E[X(t)] = E(A)cos t + E(B)sin t + E(C) = 0 \ R_X(tau) &= E[X(t)X(t+tau)] \ &= Eleft[ (Acos t + Bsin t + C)(Acos(t+tau) + Bsin(t+tau) + C) right] \ &= E[A^2]cos tcos(t+tau) + E[B^2]sin tsin(t+tau) + E[C^2] \ &= frac{1}{3} cos tcos(t+tau) + frac{1}{3} sin tsin(t+tau) + frac{1}{3} \ &= frac{1}{3} left[ cos tcos(t+tau) + sin tsin(t+tau) right] + frac{1}{3} \ &= frac{1}{3} cos tau + frac{1}{3} end{aligned} $$

即 \(R_X(\tau)\) 只与时间差 \(\tau\) 有关，\(R_X(\tau) = \frac{1}{3}\cos(\tau) + \frac{1}{3}\)，因此是平稳过程。

(2) 计算 \(\langle X(t) \rangle\)，判断均值是否具有各态历经性，并说明理由

$$ begin{aligned} langle X(t) rangle &= lim_{Ttoinfty} frac{1}{2T} int_{-T}^{T} X(t) dt \ &= lim_{Ttoinfty} frac{1}{2T} int_{-T}^{T} [Acos t + Bsin t + C] dt \ &= A cdot 0 + B cdot 0 + C \ &= C end{aligned} $$

由于 \(C\) 是随机变量且 \(E[C]=0\)，但 \(C\) 本身不恒等于 \(0\)，所以 \(\mu_X \neq \langle X(t) \rangle\)，均值不具有各态历经性。

(3) 求 \(\{X(t)\}\) 的谱密度 \(S_X(\omega)\)

$$ begin{aligned} R_X(tau) &= frac{1}{3}cos(tau) + frac{1}{3} \ S_X(omega) &= mathscr{F}[R_X(tau)] \ &= frac{1}{3} mathscr{F}[costau] + frac{1}{3} mathscr{F}[1] \ &= frac{1}{3} pi [delta(omega-1) + delta(omega+1)] + frac{1}{3} 2pi delta(omega) end{aligned} $$

5.22¶

$$ S_X(omega) = begin{cases} 2delta(omega) + 1 - |omega|, & |omega| < 1, \ 0, & text{其他}, end{cases} $$

求 \(\{X(t)\}\) 的自相关函数

当 \(|\omega| < 1\) 时，\(S_X(\omega) = 2\delta(\omega) + 1 - |\omega|\)。

$$ begin{aligned} R_X(omega)&=frac{1}{2pi}int_{-1}^{1}e(2delta(omega)+1-|omega|)domega\ &= frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}e}2delta(omega)domega + frac{1}{2pi}int_{0^{1}e}(1-omega)domega + frac{1}{2pi}int_{-1^{0}e(1+omega)domega\ &= frac{1}{pi} + frac{1}{2pi}int_{0}^{1}e}(1-omega)domega + frac{1}{2pi}int_{0^{1}e(1-omega)domega\ &=frac{1}{pi}+frac{1}{pi}int_0^1cosomegatau(1-omega)domega\ &=frac{1}{pi}+frac{1-costau}{pitau^2} end{aligned} $$

5.24¶

(1) \(\{Y(t); -\infty < t < \infty\}\) 是平稳过程，其自相关函数 \(R_Y(\tau) = \frac{1}{2}R_X(\tau)\cos\tau\);

均值:

$$ mu_X = E[Y(t)] = E[X(t)]E[cos(t + theta)] = 0 $$

自相关函数:

$$ begin{aligned} R_Y(tau) &= E[X(t)cos(t + theta) cdot X(t + tau)cos(t + tau + theta)] \ &= R_X(tau) , E[cos(t + theta)cos(t + tau + theta)] \ &=R_{x}[t]left(frac{1}{2}cos(t+frac{pi}{4})cos(t+t+frac{pi}{4})+frac{1}{2}cos(t-frac{pi}{4})cos(t+t-frac{pi}{4})right)\ &=frac{1}{2}R_{x}(t)cos(tau) end{aligned} $$

(2) \(\{Y(t)\}\) 的谱密度为 \(S_Y(\omega) = \frac{1}{4}[S_X(\omega-1)+S_X(\omega+1)]\).

谱密度即傅里叶变换，利用傅立叶变换性质，有

• \(R_X(\tau)\) 的傅里叶变换为 \(S_X(\omega)\)
• \(\cos(\omega_0\tau)\) 的傅立叶变换是 \(\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\)

直接运算

当一个信号乘以余弦时，其频谱会产生频移（spectral shifting）：

$$ R_X(tau)cos(omega_0 tau) = frac{1}{2}R_X(tau) e^{jomega_0 tau} + frac{1}{2}R_X(tau) e^{-jomega_0 tau} $$

对上式做傅里叶变换（记为 \(\mathcal{F} \{ \cdot \}\)）：

$$ mathcal{F} { R_X(tau) cos(omega_0 tau) } = frac{1}{2} S_X(omega - omega_0) + frac{1}{2} S_X(omega + omega_0) $$

时域卷积对应频域相乘

$$ f(tau)g(tau) rightarrow frac{1}{2pi} F(omega) * G(omega) $$

应用到当前情况：

$$ begin{aligned} R_X(tau)cos(omega_0 tau) &rightarrow{mathcal{F}} frac{1}{2pi} S_X(omega) * pi[delta(omega - omega_0) + delta(omega + omega_0)]\ &= frac{1}{2} left[S_X(omega - omega_0) + S_X(omega + omega_0)right] end{aligned} $$

5.25¶

$$ R_Y(tau) = 2R_X(tau) - R_X(tau + L) - R_X(tau - L) $$

对其进行傅里叶变化，有

$$ S_Y(omega) = int_{-infty}^{infty} R_Y(tau)e^{-jomegatau}dtau $$

根据时移性质有：

$$ int_{-infty}^{infty} R_X(tau pm L)e^{-jomegatau}dtau = S_X(omega)e^{pm jomega L} $$

因此：

$$ begin{aligned} S_Y(omega) &= S_X(omega)(2 - (e^{jomega L} + e^{-jomega L}))\ &= 2S_X(omega)(1 - cos L) end{aligned} $$